Hijo de Baldomero Sánchez Mudarra y de Mercedes Cuenca Guardia, nació en Alcalá la Real el 24 de julio de 1896. Sintió desde muy pequeño curiosidad por las enfermedades de los seres vivos y su curación, estimulada o favorecida por la profesión de su padre y de su abuelo, veterinarios los dos. Pero él se inclinó pronto por la ciencia médica, cursando con tanto éxito la carrera en la Universidad granadina que sus maestros aconsejaron su traslado a Madrid, donde no tardó en convertirse en un valor positivo de la medicina española.

  Se licenció en la Universidad Central en el año 1924 y en 1925 fue pensionado por la Junta de Ampliación de Estudios para trabajar en Viena con el profesor Eppinger en la clínica del profesor Wenkebach.

  Fue nombrado profesor auxiliar de la cátedra de Patología Médica del profesor Jiménez Díaz, con quién publicaría numerosos trabajos. Entre ellos, las primeras observaciones sobre los procesos alérgicos y patología alergológica, publicados comjuntamente por ambos médicos entre 1925 y 1928. La tesis doctoral de don Baldomero se tituló Las polinosis en la Península Ibérica y fue dirigida por Jiménez Díaz y leída en 1928 resultando premiada por la Academia de Medicina.

  En 1928 acudió a Mannheim, en Alemania, para estudiar con el profesor Lesser el mecanismo de acción de la insulina.

  También es de destacar su estudio, por primera vez en el mundo, de gases en sangre obtenidos directamente mediante sondaje del corazón derecho, realizado por el Dr. Sánchez-Cuenca en su propia persona el año 1929.

  Fundó en 1945 el Instituto Antiasmático de Santa Florentina bajo los auspicios de la Fundación Fierro, ubicado en la calle madrileña de Covarrubias, con el deseo de iniciar una autentica lucha social antiasmática. En este centro se han iniciado muchos especialistas en asma y alergia, tanto españoles como extranjeros.

  Miembro de numerosas academias, desde 1953 lo fue también de la American Achademy of Allergy.

  A su labor de médico unió Sánchez-Cuenca la de humanista, como continuador de la tradición iniciada por Gregorio Marañón, llegando a confeccionar una bella edición manuscrita de su puño y letra del Quijote.

  Pese a su enorme actividad no perdió nunca su contacto con la tierra que le vio nacer, siguiendo con gran interés su vida cultural, a la que colaboró en todo momento.

  Baldomero Sánchez-Cuenca falleció en Madrid el 31 de octubre de 1967 de un proceso canceroso. Alcalá la Real ha conservado su memoria dando el nombre de Doctor Sánchez-Cuenca a la Residencia de Crónicos Psíquicos Gravemente Afectados inaugurada el diecisiete de diciembre de 1996.